Abstrak: Keluhan sebagian pelajar matematika yang seringkali diungkapkan adalah “kesulitan
belajar matematika secara mandiri”. Kesulitan belajar itu terutama dalam
memilih model pembelajaran yang tepat. Model pembelajaran yang digunakan
hendaknya meliputi bagaimana belajar, bagaimana mengingat, bagaimana berpikir
dan bagaimana memotivasi diri sendiri. Oleh karena itu, pelajar dapat memilih
model reciprocal teaching untuk
belajar matematika secara mandiri. Karena dalam model reciprocal teaching terdapat empat keterampilan kognitif yaitu
merangkum, bertanya, menjelaskan dan memprediksi
Kata kunci: Model reciprocal teaching, belajar,
mandiri
Matematika dikenal
sebagai suatu ilmu pengetahuan yang abstrak, yang dapat dipandang sebagai
menstrukturkan pola berpikir yang sistematis, kritis, logis, cermat dan
konsisten. Pola berpikir yang
dianut secara konsisten inilah yang menyebabkan matematika mempunyai ilmu yang
kokoh.
Dalam pembahasan matematika, kesimpulan-kesimpulan yang dihasilkan
sementara diperoleh melalui penalaran dengan pola berpikir seperti yang
diungkapkan di atas yang diikuti secara ketat tanpa pengecualian/pengkhususan. Dalam matematika
juga tidak terdapat konsep-konsep yang bertentangan (kontradiksi). Karena itu,
materi matematika dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat
dipisahkan. Materi matematika tidak dapat dipahami dengan baik dan benar bila
tidak dipelajari dengan penalaran yang benar. Sebaliknya, penalaran matematika
itu hanya dapat dipahami dan dilatihkan melalui belajar materi matematika.
Dengan demikian belajar seperti ini untuk memudahkan memperoleh pengertian yang
benar sehingga terhindar dari salah pengertian (misconception). Sebab pemahaman
konsep yang salah dapat berakibat fatal dalam pengembangan dan penerapan
selanjutnya. Kebiasaan berpikir dan bernalar matematika ini akan sangat
membantu dalam menghadapi permasalahan dalam proses penyelesaian masalah, serta
dalam proses pengambilan keputusan, sekalipun di luar bidang matematika.
Untuk belajar materi matematika dan
penalaran matematika sehingga tercapai tujuan pembelajaran yang kita harapkan.
Perlu kiranya kita memilih model pembelajaran yang tepat. Dengan demikian kita
dapat belajar secara mandiri. Model pembelajaran yang digunakan hendaknya
meliputi bagaimana belajar, bagaimana mengingat, bagaimana berpikir dan
bagaimana memotivasi diri sendiri. Hal ini diungkapkan Weinstein dan Meyer dalam Khabibah
(1999:3), “Good teaching includes teaching
students how to learn, how to remember, how to think, and how to motivate
themselves”. Dengan demikian kita dapat memilih model reciprocal teaching (pembelajaran
terbalik) sehingga kita dapat belajar secara mandiri.
Polinscar dan Brown, (1984) dan Daniel, (1988) menyatakan, “ Terdapat
sejumlah upaya berdasarkan teori Vigotsky untuk mengenalkan bentuk reciprocal teaching yang dirancang untuk merespon siswa dalam kebutuhan
pembelajaran mandiri” (dalam Harry dan Julia, 1995:75). Model reciprocal teaching merupakan salah satu model pembelajaran yang digunakan
dalam pembelajaran dalam beberapa mata pelajaran diantaranya matematika. Dengan
model reciprocal teaching diharapkan kita dapat belajar materi matematika dan
penalaran matematika secara mandiri.
Dalam model reciprocal teaching terdapat empat keterampilan kognitif
yaitu merangkum, bertanya, menjelaskan dan memprediksi. Belajar materi
matematika dan penalaran matematika
sangat erat hubungannya dengan kehidupan sehari-hari. Meskipun tidak
semua materi matematika dapat dipelajari dengan menggunakan model reciprocal teaching. Namun yang kita harapkan pola berpikir kita memiliki empat
keterampilan tersebut.
BELAJAR MANDIRI
Belajar adalah suatu proses yang harus
diadakan seseorang atau sekelompok orang untuk memperoleh penguasaan suatu
kemampuan tertentu yang sudah ditetapkan terlebih dahulu. Yang dimaksud dengan
penguasaan kemampuan belajar matematika, bukan hanya penguasaan konsep, materi,
penalaran dan keterampilan teknis (penguasaan ilmu). Tetapi juga, pembinaan
watak, sikap dan perilaku terhadap diri dalam matematika, yang secara singkat
kita sebut sebagai pembinaan kematangan profesional. Dalam matematika termasuk
di sini sikap dan etos kerja, sifat kreatif dan inovatif serta kemampuan
berkomunikasi lisan dan tulisan.
Sesuai dengan persepsi yang dikemukakan di atas, pembelajaran matematika
perlu mencakup usaha melatihkan kemampuan belajar mandiri dengan memanfaatkan
fasilitas dan nara
PEMBELAJARAN
MATEMATIKA
Pembelajaran matematika perlu diberi
penekanan pada:
1.
Pemahaman
konsep dengan baik dan benar.
2.
Kekuatan
bernalar matematika.
3.
Keterampilan
dalam teknik dan metode dalam matematika
4.
Kemampuan
belajar mandiri.
Ada beberapa tingkatan penguasaan
konsep dalam matematika sebagai berikut:
1.
Mengucapkan
konsep dengan tepat dan benar.
2.
Menjelaskan konsep dengan kalimat dan
kata-kata biasa, sehinga dapat dipahami oleh orang lain.
3.
Mengidentifikasi
keberlakuan atau ketidakberlakuan konsep, yaitu kemampuan menggunakan atau tidak menggunakan konsep pada tempat
atau situasi yang benar.
4.
Menginterpretasikan
suatu konsep yaitu menunjukkan interpretasi suatu konsep dilingkungan
matematika atau di luar matematika dalam situasi sehari-hari atau bidang ilmu
lain. Ini mendasari kemampuan menerapkan matematika.
5.
Menerapkan
konsep dengan benar dalam matematika ataupun dalam penerapan matematika di luar bidang
matematika.
6.
Kesadaran
pengembangan konsep, berupa generalisasi ataupun pengembangan sifat dan
perilaku konsep tersebut.
7.
Kemampuan berkomunikasi mengenai
matematika dan mengkomunikasikan matematika. Yang pertama adalah menyajikan
pendapat atau hasil pemikiran matematika yang tepat dan benar, secara lisan dan
tulisan. Yang kedua adalah mengkomunikasikan matematika pada pengguna, sebagai
kunci penerapan matematika.
Beberapa hal berikut ini dapat
dipertimbangkan dalam melaksanakan pembelajaran matematika:
1.
Usaha
menumbuhkan motivasi belajar
Sebelum
belajar materi dan penalaran lebih lanjut, kita hendaknya terlebih dahulu tahu
manfaat dan tujuan belajar matematika.
2.
Penyajian konsep (Aksioma dan Definisi)
Mencoba untuk
menjelaskan isi atau maksud konsep itu dengan kata-kata dan kalimat biasa yang
sederhana. Dan bila memungkinkan diberikan interpretasinya dalam situasi usaha
atau situasi lain yang sudah dikenal.
Setiap definisi selalu terdiri dari
tiga komponen, yaitu:
- Ruang atau semesta di mana definisi
itu berlaku.
- Ungkapan definisi.
- Atributnya.
Kemampuan mengidentifikasi ketiga
komponen itu dengan benar sangatlah penting untuk memudahkan penggunaan dan
menghindarkan penggunaan yang keliru. Perlu dibiasakan menelaah setiap definisi
dan melihat beberapa akibat logisnya yang mungkin dirumuskan, yang seringkali
dijumpai berupa teorema.
3.
Penyajian
teorema, sifat atau hukum-hukum
Setiap teorema harus ditunjukkan
kebenarannya, menunjukkan kebenaran ini dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:
- Menemukan teorema itu sebagai akibat logis kebenaran
yang berupa definisi atau teorema yang sudah diperoleh sebelumnya.
- Meneruskan suatu teorema berdasarkan intuisi dan
kemudian dibuktikan secara deduktif
berdasarkan definisi atau berbagai teorema yang diperoleh
sebelumnya.
Menunjukkan bahwa setiap teorema terdiri dari tiga komponen,
yaitu:
- Semesta di mana teorema itu
diberlakukan.
- Premis yaitu semacam persyaratan
yang harus dipenuhi.
- Kesimpulan yang menyatakan akibat dari premis.
Mengidentifikasi komponen-komponen ini penting untuk proses pembuktian
dan untuk menghindarkan kekeliruan penggunaan. Penting pula ditunjukkan penggunaan dan interpretasi teorma
tersebut.
4.
Metode
dan tehnik matematika
Untuk
menunjukkan keterampilan penggunaan metode dan tehnik ini perlu dimulai dengan
menunjukkan contoh yang lengkap dan terperinci, dan memberikan alasan setiap
langkah yang diambil. Kemudian latihan menyajikan soal-soal yang ada.
5.
Problem solving
Dalam problem solving dituntut kematangan yang lebih, yang mencakup mengenal dan
menganalisis permasalahan, penjajagan dan mencoba-coba berbagai cara
penyelesaian, memilih metode dan tehnik-tehnik yang sesuai, dan misalnya
kebenaran yang diperoleh.
6.
Evaluasi
Evaluasi
adalah usaha untuk mengetahui materi atau kemampuan yang sudah diajarkan
berhasil dikerjakan dan dipahami dengan baik oleh kita dan sesuai dengan
ketentuan tujuan pembelajaran.
MODEL RECIPROCAL TEACHING
Polinscar (1986) dalam Harry dan Julia
(1995:75) mengungkapkan ada empat strategi kognitif yang digunakan untuk
membantu pemahaman kita tersebut adalah:
1.
Merangkum;
kita dapat mengidentifikasi dan memparafrasekan ide pokok dalam suatu wacana.
2.
Bertanya;
kita dapat membuat pertanyaan sendiri tentang informasi yang belum jelas yang
terdapat dalam wacana.
3.
Menjelaskan;
kita dapat mengklarifikasi suatu pemahaman yang sukar dan dapat mengklarifikasi
kata kunci yang terdapat dalam wacana agar lebih dipahami, misalnya dengan
membaca ulang, membaca di depan, bertanya untuk membantu.
4.
Memprediksi;
kita dapat mengadakan hipotesis tentang struktur dan isi bacaan yang akan
disajikan berikutnya.
Model reciprocal teaching merupakan strategi pembelajaran yang
dikembangkan oleh Annimarie Sakivan Polinscar dan Ann Brown pada tahun 1981
untuk pelajaran bahasa. Namun tidak ada salahnya apabila kita menerapkannya
dalam belajar matematika secara mandiri. Karena dengan model reciprocal teaching diharapkan belajar memahami sehingga tidak mudah lupa dan
lebih bermakna, kita juga dapat belajar mandiri dan dapat memotivasi diri
sendiri.
MODEL RECIPROCAL TEACHING
DALAM BELAJAR MATEMATIKA SECARA MANDIRI
Telah diungkapkan di atas bahwa model reciprocal teaching merupakan suatu prosedur
pembelajaran atau pendekatan yang dirancang untuk mengajarkan kepada
siswa tentang strategi pemahaman yaitu
merangkum, bertanya, menjelaskan dan memprediksi. Adapun langkah-langkah
penerapan model reciprocal teaching dalam belajar matematika secara
mandiri adalah sebagai berikut:
Dalam hal ini dicontohkan materi aljabar linear pada pokok bahasan
Ruang-ruang Vektor dengan sub pokok bahasan Kebebasan Linear.
Langkah 1. Membaca
materi di bawah ini dengan cermat dan teliti.
Definisi: Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah suatu
himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 +
…+ krvr
= 0
mempunyai
paling tidak satu penyelesaian yaitu k1 = 0, k2 = 0, … kr = 0. Jika ini adalah satu-satunya
penyelesaian maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linear. Jika ada
penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas
secara linear.
Contaoh
1.
Jika v1 = (2, -1, 0, 3) , v2 = (1, 2, 5,-1), dan v3 = (7, -1, 5, 8), maka himpunan vektor-vektor S = { v1, v2, v3}
tak-bebas secara linear, karena 3v1 +
v2 - v3 = 0.
Contoh 2.
Polinom p1 = 1 – x , p2 = 5 + 3x – 2x2
, dan p3 = 1 + 3x – x2
Membentuk
suatu himpunanyang tak-bebas secara linear dalam P2
karena 3 p1
– p2
+ 2p3 = 0
Contoh
3.
Tinjau
vektor i = (1, 0,
0) , j = (0, 1,
0), dan k = (0,
0, 1) dalam R3. Dalam bentuk komponen, persaman vektor
k1i + k2j + krk = 0
menjadi
k1(1,0, 0) + k2(0, 1, 0) + kr(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
atau
secara ekuivalen
(k1 , k2 , kr
) = (0, 0, 0)
Ini
berimplikasi bahwa k1 = 0, k2 = 0 dan k3
=
0 sehinga himpunan S = {i, j, k} bebas secara linear. Suatu uraian
serupa bisa digunakan untuk menunjukkan bahwa vektor-vektor
e1 = (1, 0, 0, …,
0), e2
= (0, 1, 0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 1)
membentuk suatu himpunan yang bebas
secara linear dalam R3.
Contoh
4.
Tentukan
apakah vekor-vektor
v1 = (1, -2, 3) , v2 = (5, 6, -1), v3
= (3, 2, 1)
membentuk
suatu himpunan yang tak-bebas secara linear
atau himpunan yang bebas secara linear!
Penyelesaian:
Dalam
bentuk komponen, persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + k3v3
= 0
menjadi
k1(1, -2, 3) + k2(5, 6, -1) + k3(3, 2, 1) = (0, 0, 0)
atau
secara ekuivalen
(k1 + 5k2 + 3k3 , -2k1 + 6k2 +
2k3 , 3k1 - k2 + k3)
= (0, 0, 0)
dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan kita
akan mendapatkan
k1 +
5k2 +
3k3 = 0
-2k1 + 6k2 + 2k3 = 0
3k1 - k2 +
k3 = 0
Jadi, v1, v2, dan v3 membentuk suatu himpunan yang tak-bebas
secara linear jika sistem ini mempunyai suatu penyelesaian yang tak-trivial,
atau suatu himpunan yang bebas secara linear jika sistem ini hanyamempunyai
penyelesaian trivial. Dengan menyelesaikan sistem ini kita akan mendapat
k1 = -
, k2 =
-, k3
=
t
, k2 =
-, k3
=
t
Jadi, sistem tersebut mempunyai penyelesaian tak-trivial dan
v1, v2, dan v3 membentuk suatu
himpunan yang tak-bebas secara linear. Atau, kitabisa menunjukkan keberadaan
penyelesaian tak-trivial tanpa menyelesaikan sistemnya dengan menunjukkan bahwa
maktriks koefisiennya mempunyai determinan nol dan akibatnya tidak dapat
dibalik (ditunjukkan).
Contoh 5.
Tunjukkan bahwa polinom
1, x, x2, …, xn
membentuk suatu himpunan vektor-vektor
yang bebas secara linear dalam Pn!
Penyelesaian:
Anggap
p0 = 1 , p2 = x , p2 = x2 , …, pn = xn
Dan asumsikan bahwa suatu kombinasi linear dari
polinom-polinom ini adalah nol, katakanlah
a0p0 + a1p1 + a2p2 + … + an pn = 0
atau secara ekuivalen
a0 + a1x + a2x2 + … + an
xn
= 0 untuk semua x
dalam (
) (1)
) (1)
kita harus menunjukkan bahwa
a0 = a1 = a2 = … = an =
0
Untuk
melihat bahwa memang demikian halnya, ingatlah dari aljabar bahwa suatu polinom
tak nol berderajat n paling banyak mempunyai n akar yang berbeda. Tetapi hal
ini mengimplikasikan bahwa a0 = a1 = a2 = … =
an = 0 ; jika tidak, dari (1) kita dapatkan bahwa a0 +
a1x + a2x2 + …
+ anxn adalah suatu polinom tak nol dengan tak hingga banyaknya
akar.
Langkah 2. Merangkum materi yang telah
dibaca di atas.
Rangkuman:
Definisi: Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor tak
kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 +
…+ krvr
= 0
mempunyai
paling tidak satu penyelesaian yaitu k1 = 0, k2 = 0, … kr = 0. Jika ini adalah satu-satunya
penyelesaian maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linear. Jika ada
penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas
secara linear.
Langkah 3. Bertanya;
Dapat diaplikasikan
dengan membuat soal sendiri yang sesuai dengan contoh soal di atas. (Silahkan
buat soal sendiri)
Langkah 4: Menjelaskan
Jika belajar mandiri dilakukan secara kelompok kita dapat menjelaskan kepada teman-teman.
Karena dalam belajar matematika, kita dikatakan memahami suatu materi jika kita
dapat menjelaskan materi tersebut dengan kata-kata sendiri kepada orang lain.
Langkah 5: Memprediksi
Digunakan untuk
meramalkan apa yang terjadi jika suatu syarat dihilangkan atau ditambah sebuah
syarat.
Contoh:
Untuk
nilai real x berapakah vektor-vektor
berikut ini membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear dalam R3?
v1 = 
, v2 = 
, dan v3 = 
, v2 = , dan v3 =
DAFTAR
PUSTAKA
Ansyar, M. dan R. K. Sembiring. 2001. Hakikat
Pembelajaran MIPA di Perguruan Tinggi. Dalam Ida Malati Sukma Sadjati (Ed.)
Hakikat Pembelajaran MIPA dan Kiat
Pembelajaran Biologi di Perguruan Tinggi
(hal. 10 – 15). Jakarta
Anton, Howard. Terjemahan oleh Hari Suminto, Ir. 2000. Elementary Linear Aljebra. Batam Centre:
Interaksara.
Daniel, Harry dan
Julia. 1995. Secondary Mathematic and
Special Educational Needs. New York : Cassel
Khabibah,
Siti. 1999. Model Pengajaran Terbalik
(Reciprocal Teaching) Dalam pembelajaran matematika di SMU. Tesis. Surabaya : IKIP Surabaya
bagus nih.. bisa buat refrensi tugas akhir kuliah.. makasih bang.. :D
BalasHapus