Jumat, 17 Agustus 2012

ALTERNATIF BELAJAR MATEMATIKA SECARA MANDIRI Oleh ; HAMID DARMADI [1]




Abstrak: Keluhan sebagian pelajar matematika yang seringkali diungkapkan adalah “kesulitan belajar matematika secara mandiri”. Kesulitan belajar itu terutama dalam memilih model pembelajaran yang tepat. Model pembelajaran yang digunakan hendaknya meliputi bagaimana belajar, bagaimana mengingat, bagaimana berpikir dan bagaimana memotivasi diri sendiri. Oleh karena itu, pelajar dapat memilih model reciprocal teaching untuk belajar matematika secara mandiri. Karena dalam model reciprocal teaching terdapat empat keterampilan kognitif yaitu merangkum, bertanya, menjelaskan dan memprediksi

            Kata kunci: Model reciprocal teaching, belajar, mandiri

          Matematika dikenal sebagai suatu ilmu pengetahuan yang abstrak, yang dapat dipandang sebagai menstrukturkan pola berpikir yang sistematis, kritis, logis, cermat dan konsisten. Pola berpikir yang dianut secara konsisten inilah yang menyebabkan matematika mempunyai ilmu yang kokoh.
          Dalam pembahasan matematika, kesimpulan-kesimpulan yang dihasilkan sementara diperoleh melalui penalaran dengan pola berpikir seperti yang diungkapkan di atas yang diikuti secara ketat tanpa pengecualian/pengkhususan. Dalam matematika juga tidak terdapat konsep-konsep yang bertentangan (kontradiksi). Karena itu, materi matematika dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan. Materi matematika tidak dapat dipahami dengan baik dan benar bila tidak dipelajari dengan penalaran yang benar. Sebaliknya, penalaran matematika itu hanya dapat dipahami dan dilatihkan melalui belajar materi matematika. Dengan demikian belajar seperti ini untuk memudahkan memperoleh pengertian yang benar sehingga terhindar dari salah pengertian (misconception). Sebab pemahaman konsep yang salah dapat berakibat fatal dalam pengembangan dan penerapan selanjutnya. Kebiasaan berpikir dan bernalar matematika ini akan sangat membantu dalam menghadapi permasalahan dalam proses penyelesaian masalah, serta dalam proses pengambilan keputusan, sekalipun di luar bidang matematika.
           Untuk belajar materi matematika dan penalaran matematika sehingga tercapai tujuan pembelajaran yang kita harapkan. Perlu kiranya kita memilih model pembelajaran yang tepat. Dengan demikian kita dapat belajar secara mandiri. Model pembelajaran yang digunakan hendaknya meliputi bagaimana belajar, bagaimana mengingat, bagaimana berpikir dan bagaimana memotivasi diri sendiri. Hal ini diungkapkan Weinstein dan Meyer dalam Khabibah (1999:3), “Good teaching includes teaching students how to learn, how to remember, how to think, and how to motivate themselves”.  Dengan demikian kita dapat memilih model reciprocal teaching  (pembelajaran terbalik) sehingga kita dapat belajar secara mandiri.
          Polinscar dan Brown, (1984) dan Daniel, (1988) menyatakan, “ Terdapat sejumlah upaya berdasarkan teori Vigotsky untuk mengenalkan bentuk reciprocal teaching yang dirancang untuk merespon siswa dalam kebutuhan pembelajaran mandiri” (dalam Harry dan Julia, 1995:75). Model reciprocal teaching merupakan salah satu model pembelajaran yang digunakan dalam pembelajaran dalam beberapa mata pelajaran diantaranya matematika. Dengan model reciprocal teaching diharapkan kita dapat belajar materi matematika dan penalaran matematika secara mandiri.
           Dalam model reciprocal teaching terdapat empat keterampilan kognitif yaitu merangkum, bertanya, menjelaskan dan memprediksi. Belajar materi matematika dan penalaran matematika  sangat erat hubungannya dengan kehidupan sehari-hari. Meskipun tidak semua materi matematika dapat dipelajari dengan menggunakan model reciprocal teaching. Namun yang kita harapkan pola berpikir kita memiliki empat keterampilan tersebut.

BELAJAR MANDIRI
             Belajar adalah suatu proses yang harus diadakan seseorang atau sekelompok orang untuk memperoleh penguasaan suatu kemampuan tertentu yang sudah ditetapkan terlebih dahulu. Yang dimaksud dengan penguasaan kemampuan belajar matematika, bukan hanya penguasaan konsep, materi, penalaran dan keterampilan teknis (penguasaan ilmu). Tetapi juga, pembinaan watak, sikap dan perilaku terhadap diri dalam matematika, yang secara singkat kita sebut sebagai pembinaan kematangan profesional. Dalam matematika termasuk di sini sikap dan etos kerja, sifat kreatif dan inovatif serta kemampuan berkomunikasi lisan dan tulisan.
           Sesuai dengan persepsi yang dikemukakan di atas, pembelajaran matematika perlu mencakup usaha melatihkan kemampuan belajar mandiri dengan memanfaatkan fasilitas dan nara sumber yang tersedia, untuk penguasaan ilmu serta sikap keprofesionalan.  Yang dimaksud dengan belajar mandiri adalah belajar dengan inisiatif, tanggung jawab dan usaha sendiri, serta mengevaluasi sendiri hasil belajarnya. Jadi belajar mandiri ini bukan berarti belajar seorang diri. Belajar mandiri dapat juga dilakukan bersama-sama dalam kelompok.

PEMBELAJARAN MATEMATIKA

              Pembelajaran matematika perlu diberi penekanan pada:
1.    Pemahaman konsep dengan baik dan benar.
2.    Kekuatan bernalar matematika.
3.    Keterampilan dalam teknik dan metode dalam matematika
4.    Kemampuan belajar mandiri.
           Ada beberapa tingkatan penguasaan konsep dalam matematika sebagai berikut:
1.    Mengucapkan konsep dengan tepat dan benar.
2.    Menjelaskan konsep dengan kalimat dan kata-kata biasa, sehinga dapat dipahami oleh orang lain.
3.    Mengidentifikasi keberlakuan atau ketidakberlakuan konsep, yaitu kemampuan menggunakan  atau tidak menggunakan konsep pada tempat atau situasi yang benar.
4.    Menginterpretasikan suatu konsep yaitu menunjukkan interpretasi suatu konsep dilingkungan matematika atau di luar matematika dalam situasi sehari-hari atau bidang ilmu lain. Ini mendasari kemampuan menerapkan matematika. 
5.    Menerapkan konsep dengan benar dalam matematika ataupun dalam  penerapan matematika di luar bidang matematika.
6.    Kesadaran pengembangan konsep, berupa generalisasi ataupun pengembangan sifat dan perilaku konsep tersebut.
7.    Kemampuan berkomunikasi mengenai matematika dan mengkomunikasikan matematika. Yang pertama adalah menyajikan pendapat atau hasil pemikiran matematika yang tepat dan benar, secara lisan dan tulisan. Yang kedua adalah mengkomunikasikan matematika pada pengguna, sebagai kunci penerapan matematika.   
            Beberapa hal berikut ini dapat dipertimbangkan dalam melaksanakan pembelajaran matematika:
1.    Usaha menumbuhkan motivasi belajar
Sebelum belajar materi dan penalaran lebih lanjut, kita hendaknya terlebih dahulu tahu manfaat dan tujuan belajar matematika.
2.    Penyajian konsep (Aksioma dan Definisi)
          Mencoba untuk menjelaskan isi atau maksud konsep itu dengan kata-kata dan kalimat biasa yang sederhana. Dan bila memungkinkan diberikan interpretasinya dalam situasi usaha atau situasi lain yang sudah dikenal.
          Setiap definisi selalu terdiri dari tiga komponen, yaitu:
  1. Ruang atau semesta di mana definisi itu berlaku.
  2. Ungkapan definisi.
  3. Atributnya.
           Kemampuan mengidentifikasi ketiga komponen itu dengan benar sangatlah penting untuk memudahkan penggunaan dan menghindarkan penggunaan yang keliru. Perlu dibiasakan menelaah setiap definisi dan melihat beberapa akibat logisnya yang mungkin dirumuskan, yang seringkali dijumpai berupa teorema.
3.    Penyajian teorema, sifat atau hukum-hukum
         Setiap teorema harus ditunjukkan kebenarannya, menunjukkan kebenaran ini dapat dilakukan dengan  dua cara, yaitu:
  1. Menemukan teorema itu sebagai akibat logis kebenaran yang berupa definisi atau teorema yang sudah diperoleh sebelumnya.
  2. Meneruskan suatu teorema berdasarkan intuisi dan kemudian dibuktikan secara deduktif  berdasarkan definisi atau berbagai teorema yang diperoleh sebelumnya.
         Menunjukkan bahwa  setiap teorema terdiri dari tiga komponen, yaitu:
  1. Semesta di mana teorema itu diberlakukan.
  2. Premis yaitu semacam persyaratan yang harus dipenuhi.
  3. Kesimpulan  yang menyatakan akibat dari premis.
           Mengidentifikasi komponen-komponen ini penting untuk proses pembuktian dan untuk menghindarkan kekeliruan penggunaan. Penting pula ditunjukkan penggunaan dan interpretasi teorma tersebut.
4.    Metode dan tehnik matematika
Untuk menunjukkan keterampilan penggunaan metode dan tehnik ini perlu dimulai dengan menunjukkan contoh yang lengkap dan terperinci, dan memberikan alasan setiap langkah yang diambil. Kemudian latihan menyajikan soal-soal yang ada.
5.    Problem solving
Dalam problem solving dituntut kematangan yang lebih, yang mencakup mengenal dan menganalisis permasalahan, penjajagan dan mencoba-coba berbagai cara penyelesaian, memilih metode dan tehnik-tehnik yang sesuai, dan misalnya kebenaran yang diperoleh.
6.    Evaluasi
Evaluasi adalah usaha untuk mengetahui materi atau kemampuan yang sudah diajarkan berhasil dikerjakan dan dipahami dengan baik oleh kita dan sesuai dengan ketentuan tujuan pembelajaran.

MODEL RECIPROCAL TEACHING
             Polinscar (1986) dalam Harry dan Julia (1995:75) mengungkapkan ada empat strategi kognitif yang digunakan untuk membantu  pemahaman kita tersebut adalah:
1.    Merangkum; kita dapat mengidentifikasi dan memparafrasekan ide pokok dalam suatu wacana.
2.    Bertanya; kita dapat membuat pertanyaan sendiri tentang informasi yang belum jelas yang terdapat dalam wacana.
3.    Menjelaskan; kita dapat mengklarifikasi suatu pemahaman yang sukar dan dapat mengklarifikasi kata kunci yang terdapat dalam wacana agar lebih dipahami, misalnya dengan membaca ulang, membaca di depan, bertanya untuk membantu. 
4.    Memprediksi; kita dapat mengadakan hipotesis tentang struktur dan isi bacaan yang akan disajikan berikutnya.
          Model reciprocal teaching merupakan strategi pembelajaran yang dikembangkan oleh Annimarie Sakivan Polinscar dan Ann Brown pada tahun 1981 untuk pelajaran bahasa. Namun tidak ada salahnya apabila kita menerapkannya dalam belajar matematika secara mandiri. Karena dengan model reciprocal teaching diharapkan belajar memahami sehingga tidak mudah lupa dan lebih bermakna, kita juga dapat belajar mandiri dan dapat memotivasi diri sendiri.
          
MODEL RECIPROCAL TEACHING DALAM BELAJAR MATEMATIKA SECARA MANDIRI

           Telah diungkapkan di atas bahwa model reciprocal teaching merupakan suatu prosedur  pembelajaran atau pendekatan yang dirancang untuk mengajarkan kepada siswa  tentang strategi pemahaman yaitu merangkum, bertanya, menjelaskan dan memprediksi. Adapun langkah-langkah penerapan model reciprocal teaching dalam belajar matematika secara mandiri  adalah sebagai berikut:
          Dalam hal ini dicontohkan materi aljabar linear pada pokok bahasan Ruang-ruang Vektor dengan sub pokok bahasan Kebebasan Linear.
Langkah 1. Membaca materi di bawah ini dengan cermat dan teliti.
Definisi: Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + …+ krvr = 0
mempunyai paling tidak satu penyelesaian yaitu  k1 = 0, k2 = 0, … kr = 0. Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linear.
Contaoh 1.
Jika v1 = (2, -1, 0, 3) , v2 = (1, 2, 5,-1), dan v3 = (7, -1, 5, 8), maka himpunan vektor-vektor S = { v1, v2, v3}  tak-bebas secara linear, karena 3v1 + v2 - v3 = 0.
Contoh 2.
Polinom p1 = 1 – x , p2 = 5 + 3x – 2x2 , dan p3 = 1 + 3x – x2
Membentuk suatu himpunanyang tak-bebas secara linear dalam P2 karena 3 p1 p2 + 2p3 = 0
Contoh 3.
Tinjau vektor i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1) dalam R3. Dalam bentuk komponen, persaman vektor  
k1i + k2j +  krk = 0
menjadi
k1(1,0, 0) + k2(0, 1, 0) + kr(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
atau secara ekuivalen
(k1 , k2 , kr ) = (0, 0, 0)
Ini berimplikasi bahwa k1 = 0, k2 = 0 dan k3  = 0 sehinga himpunan S = {i, j, k} bebas secara linear. Suatu uraian serupa bisa digunakan untuk menunjukkan bahwa vektor-vektor
                            e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 1)
membentuk suatu himpunan yang bebas secara linear dalam R3.
Contoh 4.
Tentukan apakah vekor-vektor
v1 = (1, -2, 3) , v2 = (5, 6, -1), v3 = (3, 2, 1)
membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear  atau himpunan yang bebas secara linear!
Penyelesaian:
Dalam bentuk komponen, persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0
menjadi
k1(1, -2, 3) + k2(5, 6, -1) + k3(3, 2, 1) = (0, 0, 0)
atau secara ekuivalen
(k1 + 5k2 + 3k3 ,  -2k1 + 6k2 + 2k3 , 3k1 - k2 + k3) = (0, 0, 0)
dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan kita akan mendapatkan
k1 +   5k2  +  3k3 = 0
 -2k1 + 6k2 + 2k3  = 0
 3k1   -  k2    +   k3 =  0
Jadi, v1, v2, dan v3  membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear jika sistem ini mempunyai suatu penyelesaian yang tak-trivial, atau suatu himpunan yang bebas secara linear jika sistem ini hanyamempunyai penyelesaian trivial. Dengan menyelesaikan sistem ini kita akan mendapat
k1 = -,  k2  =  -, k3 = t
Jadi, sistem tersebut mempunyai penyelesaian tak-trivial dan v1, v2, dan v3 membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear. Atau, kitabisa menunjukkan keberadaan penyelesaian tak-trivial tanpa menyelesaikan sistemnya dengan menunjukkan bahwa maktriks koefisiennya mempunyai determinan nol dan akibatnya tidak dapat dibalik (ditunjukkan).
Contoh 5.
Tunjukkan bahwa polinom
1, x, x2, …, xn
membentuk suatu himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam Pn!
Penyelesaian:
Anggap
p0 = 1 , p2 = x ,  p2 = x2 , …, pn = xn
Dan asumsikan bahwa suatu kombinasi linear dari polinom-polinom ini adalah nol, katakanlah
a0p0 +  a1p1 + a2p2 + … + an pn = 0
atau secara ekuivalen
                          a0 +  a1x + a2x2 + … + an xn = 0  untuk semua x dalam ()              (1)
kita harus menunjukkan bahwa
a0 = a1 = a2 = … = an = 0
Untuk melihat bahwa memang demikian halnya, ingatlah dari aljabar bahwa suatu polinom tak nol berderajat n paling banyak mempunyai n akar yang berbeda. Tetapi hal ini mengimplikasikan bahwa a0 = a1 = a2 = … = an = 0 ; jika tidak, dari (1) kita dapatkan bahwa a0 +  a1x + a2x2 + … + anxn  adalah suatu polinom tak nol dengan tak hingga banyaknya akar.

Langkah 2. Merangkum materi yang telah dibaca di atas.
                  Rangkuman:
                  Definisi: Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + …+ krvr = 0
mempunyai paling tidak satu penyelesaian yaitu  k1 = 0, k2 = 0, … kr = 0. Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linear.

Langkah 3. Bertanya;
Dapat diaplikasikan dengan membuat soal sendiri yang sesuai dengan contoh soal di atas. (Silahkan buat soal sendiri)

Langkah 4: Menjelaskan
Jika belajar mandiri dilakukan secara kelompok  kita dapat menjelaskan kepada teman-teman. Karena dalam belajar matematika, kita dikatakan memahami suatu materi jika kita dapat menjelaskan materi tersebut dengan kata-kata sendiri kepada orang lain.

Langkah 5: Memprediksi
Digunakan untuk meramalkan apa yang terjadi jika suatu syarat dihilangkan atau ditambah sebuah syarat.
Contoh:
Untuk nilai  real x berapakah vektor-vektor berikut ini membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear dalam R3?
                                   v1 = , v2 = , dan v3 =


DAFTAR PUSTAKA


Ansyar, M. dan R. K. Sembiring.  2001. Hakikat Pembelajaran MIPA di Perguruan Tinggi. Dalam Ida Malati Sukma Sadjati (Ed.) Hakikat Pembelajaran MIPA dan Kiat Pembelajaran Biologi  di Perguruan Tinggi (hal. 10 – 15). Jakarta: PAN – PPAI.

Anton, Howard. Terjemahan oleh Hari Suminto, Ir. 2000. Elementary Linear Aljebra. Batam Centre: Interaksara.

Daniel, Harry dan Julia. 1995. Secondary Mathematic and  Special Educational Needs. New York: Cassel

Khabibah, Siti. 1999. Model Pengajaran Terbalik (Reciprocal Teaching) Dalam pembelajaran matematika di SMU. Tesis. Surabaya: IKIP Surabaya 


[1] Antonius Suroto,Drs. adalah Dosen STKIP Persada Khatulistiwa Sintang

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar